Question

14．如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，點M從點D出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時，點N從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP⊥AD于點P，連接AC交NP于點Q，連接MQ．設運動時間為t秒．
（1）AM=8-2t，AP=2+t．（用含t的代數式表示）
（2）當四邊形ANCP為平行四邊形時，求t的值
（3）如圖2，將△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某時刻t，
①使四邊形AQMK為為菱形，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由
②使四邊形AQMK為正方形，則AC=8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由DM=2t，根據AM=AD-DM即可求出AM=8-2t；先證明四邊形CNPD為矩形，得出DP=CN=6-t，則AP=AD-DP=2+t；
（2）根據四邊形ANCP為平行四邊形時，可得6-t=8-（6-t），解方程即可；
（3））①由NP⊥AD，QP=PK，可得當PM=PA時有四邊形AQMK為菱形，列出方程6-t-2t=8-（6-t），求解即可，
②要使四邊形AQMK為正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四邊形AQMK為正方形，則CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．

解答 解：（1）如圖1．

∵DM=2t，
∴AM=AD-DM=8-2t．
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于點P，
∴四邊形CNPD為矩形，
∴DP=CN=BC-BN=6-t，
∴AP=AD-DP=8-（6-t）=2+t；
故答案為：8-2t，2+t．
（2）∵四邊形ANCP為平行四邊形時，CN=AP，
∴6-t=8-（6-t），解得t=2，
（3）①存在時刻t=1，使四邊形AQMK為菱形．理由如下：
∵NP⊥AD，QP=PK，
∴當PM=PA時有四邊形AQMK為菱形，
∴6-t-2t=8-（6-t），解得t=1，
②要使四邊形AQMK為正方形．
∵∠ADC=90°，
∴∠CAD=45°．
∴四邊形AQMK為正方形，則CD=AD，
∵AD=8，
∴CD=8，
∴AC=8$\sqrt{2}$．
故答案為：8$\sqrt{2}$．

點評 本題是四邊形綜合題，其中涉及到直角梯形的性質，矩形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，軸對稱的性質，等腰三角形的性質，正方形的性質等知識，綜合性較強，難度適中．運用數形結合、方程思想是解題的關鍵．