Question

18．在直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象經(jīng)過點(diǎn)D（5，1），且BD⊥y軸，垂足為B，點(diǎn)C是第三象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過C作CA⊥x軸，垂足為A，連接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面積是10，求直線CD的解析式；
（3）判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入雙曲線解析式，進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）先根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出BD的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)C到BD的距離，然后求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)題意求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，可知與直線CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解答 解：（1）∵比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象經(jīng)過點(diǎn)D（5，1），
∴k=5×1=5；

（2）設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，1），DB⊥y軸，
∴BD=5，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×5•h=10，
解得h=4，
∵點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1-4=-3，
∴$\frac{5}{x}$=-3，
解得x=-$\frac{5}{3}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{3}$，-3），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{3}k+b=-3}\\{5k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{5}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以，直線CD的解析式為y=$\frac{3}{5}$x-2；

（3）AB∥CD．
理由如下：∵CA⊥x軸，DB⊥y軸，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，$\frac{5}{c}$），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，1），
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（c，0），B（0，1），
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{mc+n=0}\\{n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{c}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
所以，直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{c}$x+1，
設(shè)直線CD的解析式為y=ex+f，
則$\left\{\begin{array}{l}{ec+f=\frac{5}{c}}\\{5e+f=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{e=-\frac{1}{c}}\\{f=\frac{c+5}{c}}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{c}$x+$\frac{c+5}{c}$，
∵AB、CD的解析式k都等于-$\frac{1}{c}$，
∴AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積的求解，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法，一定要熟練掌握并靈活運(yùn)用．