Question

9．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)Q是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M、N、Q三點(diǎn)不在同一直線上，當(dāng)△MNQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)平面直角坐標(biāo)系找出N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N′位置，連接MN′，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題交點(diǎn)即為△MNQ的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)Q的位置，根據(jù)MD和N′D確定△MDN′是等腰直角三角形，進(jìn)而求得△QON′是等腰直角三角形，即可求得OQ的長(zhǎng)．

解答 解：作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′交y軸于點(diǎn)Q，
則此時(shí)△MNQ的周長(zhǎng)最小，
理由：∵點(diǎn)N的坐標(biāo)是（3，0），
∴點(diǎn)N′的坐標(biāo)是（-3，0），
過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，4）
∴N′D=MD=4
∴∠MN′D=45°，
∴N′O=OQ=3，
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，根據(jù)已知得出C點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．