Question

8．如圖，二次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B（4，0），且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接BC
（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；
（2）如圖①，P是線段BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD垂直BC于D，當(dāng)PD取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上確定一定M，使得△PAM的周長(zhǎng)最小，求出△PAM的周長(zhǎng)的最小值；
（3）如圖②，點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，在線段BC上是否存在這樣的點(diǎn)N，使△CQN為等腰三角形且△BQN為直角三角形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求得b，c的值，從而可得到拋物線的解析式，然后利用拋物線的對(duì)稱軸方程可其肚餓拋物線的對(duì)稱軸；
（2）設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得直線BC的解析式，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC與點(diǎn)E，連接BP交拋物線的對(duì)稱軸與M．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3），則E（x，-$\frac{3}{4}$x+3）．由三角形的面積公式可知當(dāng)△CPB的面積最大時(shí)，PD有最大值，然后列出S_△CPB與x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后依據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知當(dāng)P、M、B在一條直線上時(shí)，AM+PM有最小值；
（3）先依據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，當(dāng)∠NQB=90°時(shí)，則∠CNQ為鈍角，則CN=QN．設(shè)NQ=CN=a，則BN=5-a，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可列出關(guān)于a的方程，從而可求得a的值，將y=a代入直線BC的解析式可求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；當(dāng)∠QNB=90°時(shí)，則△QCN為直角三角形，過點(diǎn)N⊥OC，垂足為D．設(shè)CN=QN=a，則BN=5-a．依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得a的值，然后再求得CD，ND的長(zhǎng)，從而可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{12+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：b=-$\frac{15}{4}$，c=3．
∴二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3．
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=$\frac{5}{2}$．

（2）設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3．
如圖①所示：過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC與點(diǎn)E，連接BP交拋物線的對(duì)稱軸與M．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3），則E（x，-$\frac{3}{4}$x+3）．

∵△CPB的面積=$\frac{1}{2}$BC•PD，且BC為定值，
∴當(dāng)△CPB的面積最大時(shí)，PD有最大值．
S_△CPB=$\frac{1}{2}$PE•OB=2[-$\frac{3}{4}$x+3-（$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3）]=-$\frac{3}{2}$x²+6x．
∴當(dāng)x=2時(shí)，PD有最大值．
將x=3代入拋物線的解析式得：y=-$\frac{3}{2}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-$\frac{3}{2}$）．
令y=0得：$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3=0，解得：x=1或x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得：AP=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-\frac{3}{2}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∵AP的長(zhǎng)度為定值，
∴當(dāng)AM+MB=PM+BM．
∴當(dāng)P、N、B在一條直線上時(shí)，△APM的周長(zhǎng)有最小值．
依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知BP=$\sqrt{（4-2）^{2}+（-\frac{3}{2}-0）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
∴△APM的周長(zhǎng)的最小值為$\frac{\sqrt{13}+5}{2}$．

（3）如圖②所示：當(dāng)∠NQB=90°時(shí)，則∠CNQ為鈍角．

在Rt△BOC中，依據(jù)勾股定理可知：BC=$\sqrt{B{O}^{2}+O{C}^{2}}$=5．
∵△CNQ為等腰三角形，
∴CN=QN．
設(shè)NQ=CN=a，則BN=5-a．
∵sin∠B=$\frac{QN}{BN}=\frac{OC}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{a}{5-a}=\frac{3}{5}$，解得：a=$\frac{15}{8}$．
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為$\frac{15}{8}$．
將y=$\frac{15}{8}$代入BC的解析式得：-$\frac{3}{4}$x+3=$\frac{15}{8}$，解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）．
如圖③所示：當(dāng)∠QNB=90°時(shí)，則△QCN為直角三角形，過點(diǎn)N⊥OC，垂足為D．

∵△QCN為等腰三角形，∠QNB=90°，
∴CN=QN．
設(shè)CN=QN=a，則BN=5-a．
∵tan∠B=$\frac{AN}{BN}=\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{a}{5-a}=\frac{3}{4}$，解得：a=$\frac{15}{7}$．
∴CD=$\frac{3}{5}$CN=$\frac{9}{7}$，DN=$\frac{4}{5}$CN=$\frac{12}{7}$．
∴OD=OC-DC=3-$\frac{9}{7}$=$\frac{12}{7}$．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）．
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，分類討論是解題的關(guān)鍵．