Question

如圖①，∠MON=90°，反比例函數(shù)y=

2

x

（x＞0）和y=

k

x

（k＜0，x＜0）的圖象分別是l₁和l₂．射線OM交l₁于點A（1，a），射線ON交l₂于點B，連接AB交y軸于點P，AB∥x軸．
（1）求k的值；
（2）如圖②，將∠MON繞點O旋轉(zhuǎn)，射線OM始終在第一象限，交l₁于點C，射線ON交l₂于點D，連接CD交y軸于點Q，在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠OCD的大小是否發(fā)生變化？若不變化，求出tan∠OCD的值；若變化，請說明理由；
（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，當點Q為CD中點時，CD所在的直線與l₁的有幾個公共點，求出公共點的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量的值與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A點坐標，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可BP的長，根據(jù)待定系數(shù)法，可得k值；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點坐標，D點坐標，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得

DF

OE

=

OF

CE

，可得m、n的值，根據(jù)相似三角形對應(yīng)變得比相等，可得OD：OC的值，根據(jù)正切函數(shù)值是定值，可得角是一定的；
（3）根據(jù)梯形的中位線，可得m=

4

m

，可得C、D的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得CD的解析式，根據(jù)兩函數(shù)解析式，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得圖象的交點坐標．

解答：解：（1）將A（1，a）代入y=

2

x

，得a=2，
∴A（1，2），OP=2，AP=1，
∵AB∥x軸，
∴AB⊥OP，
又∵∠MON=90°，
∴△OPA∽△BPO，
∴

BP

OP

=

PO

PA

，BP=

PO2

PA

=4，
∵點B在第二象限，
∴B（-4，2）代入y=

k

x

，得k=-8．

（2）∠OCD的大小不變．
過點C作CE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，
設(shè)OE=m，OF=n，
∴C（m，

2

m

），D（-n，

8

n

），
易證△DFO∽△OEC，
∴

DF

OE

=

OF

CE

，
∴

8 n

m

=

n

2 m

，
∴m²n²=16，
∵m＞0，n＞0，
∴mn=4，n=

4

m

，
∵△DFO∽△OEC，
∴

DO

OC

=

OF

CE

，
∴

DO

OC

=

4

m

÷

2

m

=2，即tan∠OCD=2．
（3）當點Q為CD中點時，OE=OF，
∴m=

4

m

，
∵m＞0，∴m=2，
∴C（2，1），D（-2，4）．
設(shè)直線CD的解析式為y=k₁x+b，可得

2k+b=1 -2k+b=4

，解得

k=- 3 4 b= 5 2

，
∴直線CD的解析式為y=-

3

4

x+

5

2

，
聯(lián)立方程組

y= 2 x y=- 3 4 x+ 5 2

，解得

x1=2 y1=1

，

x2= 4 3 y2= 3 2

．
∴CD所在的直線與l₁的有兩個公共點，分別是（2，1）和（

4

3

，

3

2

）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用相似三角形的性質(zhì)得出m、n得出m、n的關(guān)系，得出∠OCD的正切值，（3）利用梯形的中位線，得出m的值，再利用自變量與函數(shù)值的對定關(guān)系，得出點C、D的坐標，利用待定系數(shù)法得出直線CD的函數(shù)解析式，利用解方程組，得出交點坐標．