Question

2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O是斜邊AB上一點，以O(shè)為圓心的⊙O分別與邊AC、BC相切于點D、E，連接OD、OE．
（1）求證：四邊形CDOE是正方形；
（2）若AC=3，BC=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ODCE為矩形，再根據(jù)OD=OE，可得出四邊形CDOE為正方形；
（2）連接OC，先設(shè)圓O的半徑為r，利用面積法，列出方程即可解決問題；

解答 （1）證明：∵AC、BC分別為半圓O的切線，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE為矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形CDOE為正方形；

（2）解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r．
∵S_△ACB=S_△ACO+S_△BCO，
∴$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$•3•r+$\frac{1}{2}$•4•r，
∴r=$\frac{12}{7}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)以及正方形的判定，切線垂直于過切點的半徑，三個角為直角且有一組鄰邊相等的四邊形為正方形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考�？碱}型．．