Question

8．如圖，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)P（t，0）是OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方作等邊△OPE和△BPF，連接EF，G為EF的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)t=5時(shí)，EF∥OB；
（2）雙曲線y=$\frac{k}{x}$過(guò)點(diǎn)G，PG=$\frac{\sqrt{79}}{2}$時(shí)，則k=10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥OB于M點(diǎn)，F(xiàn)N⊥OB于N點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OP，F(xiàn)N=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB，所以EM=FN時(shí)，EF∥OB，則$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t），然后即方程即可得到t的值；
（2）作GH⊥OB于H點(diǎn)，則GH為梯形EMNF的中位線，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)得GH=$\frac{1}{2}$（EM+FN）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，HM=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$（ON-OM）=$\frac{5}{2}$，得到PH=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t或$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$，再利用勾股定理得PG²=GH²+PH²，即（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{5-t}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{79}}{2}$）²，解得t₁=3，t₂=7，然后分別確定G點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式可得到k的值．

解答 解：（1）如圖，作EM⊥OB于M點(diǎn)，F(xiàn)N⊥OB于N點(diǎn)，

∵△OPE和△BPF都是等邊三角形，
∴EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OP，F(xiàn)N=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB，
當(dāng)EM=FN時(shí)，EF∥OB，
∵P（t，0），B（10，0），
∴PO=t，PB=10-t
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t），
∴t=5；
故答案為：5．

（2）作GH⊥OB于H點(diǎn)，
∵G為EF的中點(diǎn)，
∴GH為梯形EMNF的中位線，
∴GH=$\frac{1}{2}$（EM+FN）=$\frac{1}{2}$[$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t）]=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，HM=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$（ON-OM）=$\frac{1}{2}$[t+$\frac{1}{2}$（10-t）-$\frac{1}{2}$t]=$\frac{5}{2}$，
∴PH=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t或$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$，
在Rt△PGH中，PG²=GH²+PH²，
∴（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{5-t}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{79}}{2}$）²，
∴t₁=3，t₂=7，
當(dāng)t=3時(shí)，OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$t=4，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（4，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
把G（4，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=4×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$；
當(dāng)t=7時(shí)，OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{t}{2}$=6，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（6，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
把G（6，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=6×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$；
∴k的值為10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．
故答案為：10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其函數(shù)解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理．