Question

16．如圖，在直角三角形ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在斜邊BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直角邊AB，AC上，且BD=5，CD=9，四邊形AEDF是正方形，則陰影部分的面積為$\frac{45}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方形AEDF的邊長(zhǎng)為a，由四邊形AEDF為正方形，∠BAC=90°，得DF∥AB，得到△CDF∽△DBE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得CF與BF的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到a²，再利用三角形的面積公式得S_陰影部分=$\frac{1}{2}$•CF•DF+$\frac{1}{2}$•DE•BE，代入計(jì)算即可得到陰影部分的面積．

解答 解：設(shè)正方形AEDF的邊長(zhǎng)為a，
∵四邊形AEDF為正方形，∠BAC=90°，
∴DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴△CDF∽△DBE，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CF}=\frac{BE}{DF}$，
∴$\frac{5}{9}=\frac{a}{CF}=\frac{BE}{a}$，
∴CF=$\frac{9a}{5}$，BE=$\frac{5a}{9}$，
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，即5²=${（\frac{5a}{9}）}^{2}$+a²，
∴a²=$\frac{2025}{106}$，
∴∴S_陰影部分=$\frac{1}{2}$•CF•DF+$\frac{1}{2}$•DE•BE=$\frac{1}{2}$•$\frac{{9a}^{2}}{5}$$+\frac{1}{2}$•$\frac{{5a}^{2}}{9}$=$\frac{45}{2}$，
故答案為：$\frac{45}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理以及三角形的面積公式．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．