Question

如圖1，△ABC是等邊三角形，D點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且BD=DE．
（1）求證：AD=CE；
（2）若點(diǎn)D不是AC的中點(diǎn)，其他條件不變，如圖2，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AD=DC，即可得出答案；
（2）過(guò)D作DF∥BC，交AB于F，證△BFD≌△DCE，推出DF=CE，證△ADF是等邊三角形，推出AD=DF，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∵D為AC中點(diǎn)，
∴∠DBC=30°，AD=DC，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=30°=∠E，
∴CD=CE，
∵AD=DC，
∴AD=CE；

（2）成立，
證明：過(guò)D作DF∥BC，交AB于F，
則∠ADF=∠ACB=60°，
∵∠A=60°，
∴△AFD是等邊三角形，
∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，
∴∠BFD=∠DCE=180°-60°=120°，
∵DF∥BC，
∴∠FDB=∠DBE=∠E，
在△BFD和△DCE中

∠FDB=∠E ∠BFD=∠DCE BD=DE

∴△BFD≌△DCE，
∴CE=DF=AD，
即AD=CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較典型，是一道比較好的題目．