Question

1．如圖，AB是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作CD⊥OA交弦AB于點E，連接BD，且DE=DB．
（1）判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若CD=15，BE=10，tanA=$\frac{5}{12}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBD=90°，即可證明BD是⊙O的切線；
（2）過點D作DG⊥BE于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=$\frac{1}{2}$BE=5，由兩角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形對應(yīng)角相等得到sin∠EDG=sinA=$\frac{5}{13}$，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的長，最后用三角函數(shù)即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OB，
∵OB=OA，DE=DB，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切線；
（2）如圖，過點D作DG⊥BE于G，

∵DE=DB，
∴EG=$\frac{1}{2}$BE=5，
∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，
∴∠GDE=∠A，
∴△ACE∽△DGE，
∴sin∠EDG=sinA=$\frac{EG}{DE}$=$\frac{5}{13}$，即DE=13，
在Rt△ECG中，
∵DG=$\sqrt{D{E}^{2}-E{D}^{2}}$=12，
∵CD=15，DE=13，
∴CE=2，
在Rt△ACE中，AC=$\frac{CE}{tan∠A}$=$\frac{24}{5}$，
∴⊙O的直徑2OA=4AC=$\frac{96}{5}$．

點評 此題考查了切線的判定，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．