Question

4．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，將Rt△ABC繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°≤α≤120°），得到Rt△A′BC′，直線CC′和AA′相交于點D．
（1）如圖①，當(dāng)點C′在AB邊上時，判斷線段AD和A′D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）將Rt△A′BC′由圖①的位置旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）將Rt△A′BC′由圖①的位置按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，請畫出示意圖，并寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）易證△BCC′和△BAA′都是等邊三角形，從而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，進(jìn)而可以證到AD=DC′=A′D．
（2）解答中提供了兩種方法，分別利用相似與全等，證明所得的結(jié)論．
（3）當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，有∠AC′B=90°，易證Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），從而可以求出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

解答 解：（1）AD=A′D．
證明：如圖1，
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC=BC′，BA=BA′，
∵∠A′BC′=∠ABC=60°，
∴△BCC′和△BAA′都是等邊三角形，
∴∠BAA′=∠BC′C=60°，
∵∠A′C′B=90°，
∴∠DC′A′=30°，
∵∠AC′D=∠BC′C=60°，
∴∠ADC′=60°，
∴∠DA′C′=30°，
∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′，
∴AD=DC′，DC′=DA′，
∴AD=A′D；
（2）仍然成立：AD=A′D，
證法一：利用相似．如圖2-1：
由旋轉(zhuǎn)可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′，
∵∠1=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABA′），∠3=$\frac{1}{2}$（180°-∠CBC′），
∴∠1=∠3，
設(shè)AB、CD交于點O，則∠AOD=∠BOC，
∴△BOC∽△DOA，
∴∠2=∠4，$\frac{OB}{OD}$=$\frac{OC}{OA}$，
連接BD，
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴∠5=∠6，
∵∠ACB=90°，
∴∠2+∠5=90°，
∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°，
∵BA=BA′，∠ADB=90°，
∴AD=A′D，
證法二：利用全等．如圖2-2：
過點A作AE∥A′C′，交CD的延長線于點E，則∠1=∠2，∠E=∠3，
由旋轉(zhuǎn)可得，AC=A′C′，BC=BC′，
∴∠4=∠5，
∵∠ACB=∠A′C′B=90°，
∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠6，
∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′，
在△ADE與△A′DC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AE=A′C′}\\{∠E=∠3}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△A′DC′（ASA），
∴AD=A′D；
（3）當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，如圖3，
則有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°，
在Rt△ACB和Rt△AC′B中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC′}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），
∴∠ABC=∠ABC′=60°，
∴當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，有一定的綜合性．