Question

19．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A（一4，0）、B（2，0），與y軸交于點C．經過點A的直線y=$\frac{1}{2}$x+2與拋物線的另一個交點為D，點P是拋物線上的一個動點．
（1）b=2a，C=-8a（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若點D的橫坐標為5，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，在直線AD下方的拋物線上求點P，使△APD的面積等于$\frac{21}{2}$；
（4）若在第二象限內的拋物線上存在動點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把A與B的坐標代入拋物線解析式得到方程組，將a看做已知數(shù)表示出b與c即可；
（2）把x=5代入直線解析式求出y的值，確定出D坐標，設出拋物線解析式，把D坐標代入求出a的值，確定出拋物線解析式即可；
（3）過點P作PE⊥x軸，交AD于點E，設出P坐標，進而表示出E坐標，根據P在直線AD下方，表示出PE的長，由三角形APD面積列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出P的坐標；
（4）設P坐標為（x，y），分兩種情況考慮：①若△PAB∽△BAC，可得∠PBA=∠BAC，進而確定出tan∠PBA=tan∠BAC，利用銳角三角函數(shù)定義表示出y與x的關系式，與拋物線解析式聯(lián)立表示出x與y，利用勾股定理表示出PB與AC，由相似得比例列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；②若△PAB∽△ACB，則∠PBA=∠ABC，同理求出a的值即可．

解答 解：（1）把A（-4，0）和B（2，0）代入拋物線解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=2a，c=-8a；
故答案為：2a；-8a；
（2）把x=5代入y=$\frac{1}{2}$x+2得：y=$\frac{9}{2}$，即D（5，$\frac{9}{2}$），
根據題意設拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2），
把D（5，$\frac{9}{2}$）代入得：$\frac{9}{2}$=a（5+4）（5-2），
解得：a=$\frac{1}{6}$，
則拋物線解析式為y=$\frac{1}{6}$（x+4）（x-2）=$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$；
（3）過點P作PE⊥x軸，交AD于點E，
設點P坐標為（x，$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$），則點E坐標為（x，$\frac{1}{2}$x+2），
∵點P在直線AD的下方，
∴PE=$\frac{1}{2}$x+2-（$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{6}$x+$\frac{10}{3}$，
∵△APD面積為$\frac{21}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×PE×9=$\frac{21}{2}$，即$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{6}$x+$\frac{10}{3}$）×9=$\frac{21}{2}$，
整理得：x²-x-6=0，即（x-3）（x+2）=0，
解得：x=3或x=-2，
則點P的坐標為（3，$\frac{7}{6}$）或（-2，-$\frac{4}{3}$）；
（4）設點P的坐標為（x，y），
①若△PAB∽△BCA，則∠PBA=∠BCA，
∴tan∠PBA=tan∠BCA，即$\frac{y}{2-x}$=$\frac{8a}{4}$，
整理得：y=-2a（x-2），
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x（x-2）}\\{y=a（x+4）（x-2）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=16a}\end{array}\right.$，
由勾股定理得：PB=$\sqrt{64+256{a}^{2}}$，AC=$\sqrt{16+64{a}^{2}}$，
∵△PAB∽△BAC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{BA}{BP}$，即$\frac{\sqrt{16+64{a}^{2}}}{6}$=$\frac{6}{\sqrt{64+256{a}^{2}}}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{2}}{8}$；
②若△PAB∽△ACB，則∠PBA=∠ABC，
∴tan∠PBA=tan∠ABC，
∴$\frac{y}{2-x}$=$\frac{8a}{2}$，即y=-4a（x-2），
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-4a（x-2）}\\{y=a（x+4）（x-2）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-8}\\{y=40a}\end{array}\right.$，
由勾股定理得：PB=$\sqrt{100+1600{a}^{2}}$，BC=$\sqrt{4+64{a}^{2}}$，
∵△PAB∽△ACB，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BA}{BP}$，即$\frac{\sqrt{4+64{a}^{2}}}{6}$=$\frac{6}{\sqrt{100+1600{a}^{2}}}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

點評 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二元一次方程組的解法，勾股定理，相似三角形的判定與性質，以及二次函數(shù)的性質，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．