Question

小華的爸爸要用一塊矩形鐵皮加工出一個底面半徑為20cm，高為40

2

cm的錐形漏斗，要求只能有一條接縫（接縫忽略不計）
（1）你能求出這個錐形漏斗的側(cè)面展開圖的圓心角嗎？
（2）如圖，有兩種設(shè)計方案，請你計算一下，哪種方案所用的矩形鐵皮面積較少？

Answer 1

考點：圓錐的計算

專題：計算題

分析：（1）先根據(jù)勾股定理計算出母線長為60，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式計算錐形漏斗的側(cè)面展開圖的圓心角；
（2）如圖1，矩形的一邊長等于母線長60，再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出OB，從而得到BC長，再計算矩形ABCD的面積；如圖2，矩形的一邊長等于母線長60，再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出OF，從而得到CG長，再計算矩形EFGH的面積，然后比較兩矩形的面積即可．

解答：解：（1）圓錐的母線長=

202+(40 2 )2

=60，
設(shè)這個錐形漏斗的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，
所以2π•20=

n•π•60

180

，解得n=120，
即這個錐形漏斗的側(cè)面展開圖的圓心角為120°；

（2）如圖1，OM=60，∠MON=120°，
在Rt△OBM中，∵∠BOM=30°，
∴BM=30，
∴OB=

3

BM=30

3

，
∴BC=2OB=60

3

，
∴方案一所需的矩形鐵皮的面積=60×60

3

=3600

3

，
如圖2，OM=ON=60，∠MON=120°，
在Rt△FOM中，∵∠FOM=60°，
∴OF=30，
∴FG=OF+OG=30+60=90，
∴方案二所需的矩形鐵皮的面積=90×60=5400，
∴方案二所用的矩形鐵皮面積較少．

點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．