Question

3．在一次海事活動中，我“海巡01號”輪船上午9時位于海面上的A處，觀測到某小島P位于它的北偏西67.5°方向上，該船以21海里/時的速度向正北方向行駛，下午2時到達(dá)B處，這時觀測到小島P位于該船的南偏西30°方向，求此時輪船所處位置B與小島P的距離？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin67.5°=$\frac{12}{13}$，cos67.5°=$\frac{5}{13}$，tan67.5°=$\frac{12}{5}$，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意可得PC⊥AB，然后設(shè)PC=x海里，分別在Rt△APC中與Rt△PCB中，利用正切函數(shù)求得出AC與BC的長，由AB=21×5，即可得方程，解此方程即可求得x的值，繼而求得答案．

解答 解：過點P作PC⊥AB，垂足為C，設(shè)PC=x海里．
在Rt△APC中，∵tan∠A=$\frac{PC}{AC}$，
∴AC=$\frac{PC}{tan67.5°}$=$\frac{5x}{12}$．
在Rt△PCB中，∵tan∠B=$\frac{PC}{BC}$，
∴BC=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，PB=2PC=2x．
∵AC+BC=AB=21×5，
∴$\frac{5x}{12}$+$\sqrt{3}$x=105，
解得x≈48.86，
∴PB=2x≈97.7（海里）．
答：此時輪船所處位置B與小島P的距離約為97.7海里．

點評 此題考查了方向角問題．此題難度適中，注意結(jié)合實際問題，利用解直角三角形的相關(guān)知識求解是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．