Question

13．觀察下列式子的因式分解做法：
①${x^2}-1=\underline{（x-1）（x+1）}$
②x³-1
=x³-x+x-1
=x（x²-1）+x-1
=x（x-1）（x+1）+（x-1）
=（x-1）[x（x+1）+1]
=（x-1）（x²+x+1）
③x⁴-1
=x⁴-x+x-1
=x（x³-1）+x-1
=x（x-1）（x²+x+1）+（x-1）
=（x-1）[x（x²+x+1）+1]
=（x-1）（x³+x²+x+1）
…
（1）模仿以上做法，嘗試對x⁵-1進行因式分解；
（2）觀察以上結果，猜想xⁿ-1=（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x²+x+1）；（n為正整數，直接寫結果，不用驗證）
（3）根據以上結論，試求4⁵+4⁴+4³+4²+4+1的值．

Answer 1

分析 （1）類比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可；
（2）由分解的規(guī)律直接得出答案即可；
（3）把式子乘4-1，再把計算結果乘$\frac{1}{3}$即可．

解答 解：（1）x⁵-1
=x⁵-x+x-1
=x（x⁴-1）+x-1
=x（x-1）（x³+x²+x+1）+（x-1）
=（x-1）[x（x³+x²+x+1）+1]
=（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）；
（2）xⁿ-1=（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x²+x+1）；
（3）4⁵+4⁴+4³+4²+4+1
=（4-1）（4⁵+4⁴+4³+4²+4+1）×$\frac{1}{3}$
=（4⁶-1）×$\frac{1}{3}$
=$\frac{{4}^{6}-1}{3}$．

點評 此題考查因式分解的實際運用，讀懂題意，掌握分步提取公因式法和類比的方法是解決問題的關鍵．