Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，4），B（2，4），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且∠BCO=45°，連接OB．動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)B沿折線B-A-O向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)O沿線段OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作直線PM⊥OC，與折線O-B-C相交于點(diǎn)M．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，連接QM、CM．問(wèn)：△BQM能否與△OCM相似？若能，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在OA上時(shí)，探究：四邊形OPMQ的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變，求出其周長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OC于D，構(gòu)造直角三角形，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由PM∥BD，得到△OPM∽△ODB，得到線段OP，PM的關(guān)系，當(dāng)△BQM∽△OMC時(shí)，對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求得t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在OA上時(shí)，PM交BC于M，證出四邊形OPMQ是矩形，求得矩形OPMQ的周長(zhǎng)=2（6-t）+t+t=12是個(gè)定值，得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OC于D，
∵B（2，4），
∴OD=2，BD=4，
∵∠BCO=45°，
∴CD=BD=4，
∴OC=6，
∴（6，0）；

（2）能，
如圖2∵PM∥BD，
∴△OPM∽△ODB，
∴$\frac{OP}{PM}$=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∵OB=$\sqrt{{BD}^{2}{+OD}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，
∵BQ=t，OP=t，
∴PM=2t，OM=$\sqrt{5}$t，BM=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t，
當(dāng)△BQM∽△OMC時(shí)，
$\frac{BQ}{OM}$=$\frac{BM}{OC}$，∴$\frac{t}{\sqrt{5}t}$=$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{5}t}{6}$，
∴t=$\frac{4}{5，}$，
∴當(dāng)t=$\frac{4}{5}$時(shí)，△BQM∽△OCM；

（3）如圖3當(dāng)點(diǎn)Q在OA上時(shí)，PM交BC于M，
∵PM∥OA，OP=t，PC=6-t，
∵∠BCO=45°，
∴PM=6-t，OQ=4-（t-2）=6-t，
∴PM=OQ，
∴四邊形OPMQ是矩形，
∴QM=OP=t，
∴矩形OPMQ的周長(zhǎng)=2（6-t）+t+t=12是個(gè)定值，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在OA上時(shí)，四邊形OPMQ的周長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)，相似三角形的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，矩形的判定以及矩形的周長(zhǎng)的求法，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．