Question

19．如圖，拋物線y=-x²-2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求B、C兩點的坐標；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最��？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）拋物線在第二象限內是否存在一點Q，使△QBC的面積最大？，若存在，求出點Q的坐標及△QBC的面積最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線與x軸的交點坐標與系數(shù)的關系即可求得；
（2）根據軸對稱的性質先找出C的對稱點C′，然后連接AC′即可找到P點，最后根據A、C′的坐標求得直線AC′的解析式，即可求得P的坐標；
（3）根據S_△QBC=S_△QBP+S_{四邊形QPOC}-S_△BOC即可求得解析式，根據解析式即可求得求出點Q的坐標及△QBC的面積最大值；

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²-2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，
當y=0時，即-x²-2x+3=0，
解得：x₁=-3，x₂=1，
當x=0時，y=3，
∴B（-3，0）、C（0，3）；

（2）存在；
如圖1，∵拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3，
∴拋物線的對稱軸x=-1，C（0，3）
∴C′（-2，3），
設直線AC′的解析式為：y=kx+b，
∵A（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=-2k+b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC′的解析式為：y=-x+1，
把x=-1代入直線AC′的解析式y(tǒng)=-x+1，得y=2，
∴P（-1，2）；

（3）存在；
如圖2，設Q（m，-m²-2m+3），過Q作QP⊥x軸于P，
∴OP=-m，PQ=-m²-2m+3，BP=3+m，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP•PQ=$\frac{1}{2}$（3+m）（-m²-2m+3），S_{四邊形QPOC}=$\frac{1}{2}$（OC+PQ）•OP=$\frac{1}{2}$（3-m²-2m+3）•（-m），S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，
∴S_△PBC=S_△PBQ+S_{四邊形QPOC}-S_△BOC=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m，
即S_△PBC=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
∴當m=-$\frac{1}{2}$時，△QBC的面積最大，最大值為$\frac{3}{8}$；
∴Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點評 該題考查的內容主要涉及到利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、軸對稱圖形、三角形的面積以及平行四邊形的判定和性質；（3）利用坐標系借助規(guī)則圖形求三角形的面積是此題的關鍵所在．