Question

12．將三角形的面積和周長(zhǎng)同時(shí)分為$\frac{m}{n}$的直線必過(guò)這個(gè)三角形的（　�。�

• A． 三條中線的交點(diǎn)
• B． 三條高的交點(diǎn)
• C． 三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)
• D． 三邊中垂線的交點(diǎn)

Answer 1

分析 畫(huà)出任意一個(gè)三角形，過(guò)三角形的內(nèi)心任意畫(huà)一條直線，分△ABC的周長(zhǎng)為m、n兩部分，然后三角形的面積公式求得兩部分的面積即可．

解答 解：如圖所示：△ABC為任意三角形，⊙O為三角形的內(nèi)切圓，過(guò)點(diǎn)O任意畫(huà)一條直線．
設(shè)：BE+BF=m，AE+AC+FC=n，設(shè)⊙O的半徑為R．
∴△BEF的面積=$\frac{1}{2}（BE+BF）•R$=$\frac{1}{2}mR$，△ABC的面積=$\frac{1}{2}（AB+BC+AC）R$=$\frac{1}{2}（m+n）R$．
∴四邊形AEFC的面積=△ABC的面積-△BEF的面積=$\frac{1}{2}nR$．
∴△BEF的面積：四邊形AEFC的面積=$\frac{1}{2}mR$=m：n．
∴過(guò)三角形內(nèi)心的直線將三角形的面積和周長(zhǎng)同時(shí)分為$\frac{m}{n}$的兩部分．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，利用角平分線的性質(zhì)求得三角形BEF和四邊形AEFC的面積是解題的關(guān)鍵．