Question

7．y=ax²+bx+c+2的圖象如圖所示，頂點(diǎn)為（-1，0），下列結(jié)論
①abc＞0；②b²-4ac=0；③a＞2；④4a-2b+c＞0．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a＞0；然后根據(jù)對(duì)稱軸在y軸左邊，可得b＞0；最后根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可得c＞0，據(jù)此判斷出abc＞0即可．
②根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c+2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，可得△=0，即b²-4a（c+2）=0，b²-4ac=8a＞0，據(jù)此解答即可．
③首先根據(jù)對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$=-1，可得b=2a，然后根據(jù)b²-4ac=8a，確定出a的取值范圍即可．
④根據(jù)對(duì)稱軸是x=-1，而且x=0時(shí)，y＞2，可得x=-2時(shí)，y＞2，據(jù)此判斷即可．

解答 解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵對(duì)稱軸在y軸左邊，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，
∴c+2＞2，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴結(jié)論①正確；

∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c+2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=0，
即b²-4a（c+2）=0，
∴b²-4ac=8a＞0，
∴結(jié)論②不正確；

∵對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵b²-4ac=8a，
∴4a²-4ac=8a，
∴a=c+2，
∵c＞0，
∴a＞2，
∴結(jié)論③正確；

∵對(duì)稱軸是x=-1，而且x=0時(shí)，y＞2，
∴x=-2時(shí)，y＞2，
∴4a-2b+c+2＞2，
∴4a-2b+c＞0．
∴結(jié)論④正確．
綜上，可得
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)：①③④．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱：左同右異）③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．