Question

17．如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，按題目所給條件及要求將相應(yīng)的直角三角形，分割成若干個全等的并且分別與原三角形相似的三角形．畫出圖形并簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用斜邊上的中線，將三角形分割成兩個全等的等腰直角三角形，都與原等腰直角三角形相似；
（2）過AB的中點E作AB的垂直平分線，交BC于D，則分割成的3個全等的直角三角形ACD，ADE，DEB都與原直角三角形相似，因為它們除直角外，還有一個銳角都是30°；
（3）過AB的中點分別作AC和BC的垂線，得到的4個直角三角形都與原直角三角形相似；
（4）作高CD，利用BC的中點E，分別作CD、BD的垂線即可．

解答 解：（1）如圖1，取斜邊AB中點D連接CD，∵AC=BC，
∴CD⊥AB，
∴等腰直角三角形ACD和CDB全等，且都與三角形ABC相似；

（2）如圖2，作∠CAB的平分線交BC于D，作DE⊥AB于E，
∵AB=2AC，∠C=90°，
∴∠B=30°=∠CAD=∠DAB，
∴可證△ACD≌△AED≌△BED，且都與△ABC相似；

（3）如圖3，取斜邊AB的中點D，連接CD，則CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
作DE⊥AC，DF⊥BC，可證△AED≌△CED≌△CFD≌△BFD，且都與△ABC相似；

（4）如圖4，作CD⊥AB于D，取BC中點E，作EG⊥CD于G，EF⊥BD于F，
∴∠EGD=∠GDF=∠EFD=90°，
∴四邊形DGEF是矩形，又BE=EC=AC=DE，
進(jìn)而可證△ADC≌△DGE≌△EFD≌△CGE≌△EFB，且都與△ABC相似．

點評 本題一方面考查了學(xué)生的動手操作能力，另一方面考查了學(xué)生的空間想象能力，重視知識的發(fā)生過程，讓學(xué)生體驗學(xué)習(xí)的過程，進(jìn)一步加深了對全等三角形判定的運用．