Question

11．在菱形ABCD中，∠A=60°，點E從A出發(fā)沿AB方向在射線AB上運動，點F從D出發(fā)沿DA方向在射線DA上運動，兩點同時出發(fā)，且運動速度相同
（1）如圖1，當點E，F(xiàn)分別在邊AB，DA上時，連接FE，若EF⊥AD，AF=2，求DE的長
（2）如圖1，點E，F(xiàn)分別在邊AB，DA上運動，BF，DE相交于點G，連接CG，求證：CG=BG+DG
（3）如圖2，當點E，F(xiàn)分別在邊AB，DA延長線上時，DE與FB的延長線交于點G，試探究線段BG，CG與DG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）解直角三角形得到AE=2AF=4，EF=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出△ADB是等邊三角形，得到AD=BD，∠A=∠ADB=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AE=4，由勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADE=∠DBF，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到△BCD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到∠CDB=∠CBD=60°，推出B，G，D，C四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠BGC=∠BDC=60°，在CG上截取GH=BG，由等邊三角形的性質(zhì)得到BH=BG，∠GBH=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH=DG，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AED=∠F，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠BGD=∠BCD，得到B，G，C，D四點共圓，于是得到∠CGD=∠DBC=60°，∠BDG=∠BCH，延長CG到H，使GH=BG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BH=BG，∠H=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH=DG，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠A=60°，EF⊥AD，AF=2，
∴AE=2AF=4，EF=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$，
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△ADB是等邊三角形，
∴AD=BD，∠A=∠ADB=60°，
在△ADE與△DFB中$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠A=∠BDF}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DFB，
∴DF=AE=4，
∴DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；

（2）∵△ADE≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠ADE+∠BDE=60°，
∴∠BDF+∠BDE=60°，
∵在菱形ABCD中，BC=CD，∠BCD=∠A=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠CDB=∠CBD=60°，
∴∠GBC+∠CDG=180°，
∴B，G，D，C四點共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，
在CG上截取GH=BG，
∴△BGH是等邊三角形，
∴BH=BG，∠GBH=60°，
∴∠DBG=∠CBH，
在△DBG與△CBH中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BH}\\{∠DBG=∠CBH}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CBH，
∴CH=DG，
∵CG=CH+HG，
∴CG=BG+DG；

（3）DG=BG+CG，
理由：∵△ADE≌△DFB，
∴∠AED=∠F，
∵∠ABF=∠EBG，∠DAB=∠F+∠ABF=60°，
∴∠DGB=∠EBG+∠AED=60°，
∴∠BGD=∠BCD，
∴B，G，C，D四點共圓，
∴∠CGD=∠DBC=60°，∠BDG=∠BCH，
∴∠BGC=120°，
延長CG到H，使GH=BG，
∴△BGH是等邊三角形，
∴BH=BG，∠H=60°，
在△DBG與△CBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠H=60°}\\{∠BCH=∠BDG}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CBH，
∴CH=DG，
∵CH=CG+HG，
∴DG=BG+CG．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．