Question

15．如圖所示，直線AB與反比例函數(shù)圖象相交于A、B兩點(diǎn)，已知A（1，4）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接OA，OB，當(dāng)△AOB的面積為$\frac{15}{2}$時(shí)，求直線AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，即可求出反比例函數(shù)解析；
（2）求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC求直線AB的解析式．

解答 解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，
∵點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)的圖象上
∴k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b（a＞0，b＞0），則當(dāng)x=1時(shí)，a+b=4，即b=4-a．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=ax+b}\end{array}\right.$可得ax²+bx-4=0，
即ax²+（4-a）x-4=0，
∴（x-1）（ax+4）=0，
解得x₁=1，x₂=-$\frac{4}{a}$，
設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C，則C（0，b），即C（0，4-a），
∵S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$（4-a）×1+$\frac{1}{2}$（4-a）×$\frac{4}{a}$=$\frac{15}{2}$，
整理得a²+15a-16=0，
∴a=1或a=-16（舍去），
∴b=4-1=3，
∴直線AB的解析式為y=x+3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC求解．求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解即可．