Question

2．在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD為△ABC的外角平分線交射線BC于點D，作∠ABC的角平分線交AD于點E．若CD=5，AC=2，則tan∠AEB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 截取AF=AC，連接DF，作AG⊥BC，根據(jù)三角形全等的判定得出△AFD≌△ACD，得出AB的長度，從而得出AG的長度，得出tan∠ABC，再根據(jù)三角形外角和內(nèi)角平分線得出∠AEB等于∠ABC，解答即可．

解答 解：在射線BA上截取AF=AC，連接DF，過點A作AG⊥BC，
∵AD為∠EAC的角平分線，
∴∠FAD=∠CAD，
在△AFD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△ACD（SAS），
∴FD=CD，∠ACD=∠AFD，
∵∠ACB=2∠B，
∴設(shè)∠B=x，則∠ACB=2x，
∴∠FAC=3x，
∴∠FAD=∠CAD=1.5x，
∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，
∴∠ADC=0.5x，
∴∠FDC=x，
∴∠B=∠FDC，
∴BF=FD=CD，
∴AB+AF=BF=AC+AB=CD，
∵CD=5，AC=2，
∴AB=3，
∵∠B=x，∠ACB=2x，
∴tanx=$\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{3}$，tan2x=$\frac{AG}{AC}=\frac{AG}{2}$，
∵$tan2x=\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$，
∴$\frac{AG}{2}=\frac{2×\frac{AG}{3}}{1-（\frac{AG}{3}）^{2}}$，
解得：AG=$\sqrt{3}$，
所以tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠ABC的平分線與∠BAC的外角平分線交于E，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FAD=$\frac{1}{2}$∠FAC，
∵∠FAD=∠EAB+∠AEB，∠ABC+∠ACB=∠FAC，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+∠AEB=$\frac{1}{2}$∠FAC，
即$\frac{1}{2}$∠ABC+∠AEB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
即：$\frac{1}{2}x+∠AEB=\frac{1}{2}（x+2x）$，
解得：∠AEB=x，
所以tan∠AEB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．