Question

17．如圖，鐵路上A、B兩站相距25km，C，D為兩村莊，且DA⊥AB，CB⊥AB，已知AD=15km，CB=10km，在AB上是否存在一點(diǎn)E，使它到C、D兩村莊的距離相等？若存在，求出此時AE的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE²=AD²+AE²，CE²=BE²+BC²，AD²+AE²=BE²+BC²，設(shè)AE為x，則BE=25-x，將BC=10代入關(guān)系式即可求得．

解答 解：∵C、D兩村到E站距離相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE²=AD²+AE²，CE²=BE²+BC²，
∴AD²+AE²=BE²+BC²．
設(shè)AE為x，則BE=25-x，
將BC=10，DA=15代入關(guān)系式為x²+15²=（25-x）²+10²，
整理得，50x=500，
解得x=10，
∴E站應(yīng)建在距A站10km處．

點(diǎn)評 本題主要是運(yùn)用勾股定理將兩個直角三角形的斜邊表示出來，兩邊相等求解即可，解題的關(guān)鍵是根據(jù)不同的兩個直角三角形有相等的斜邊列出等式求解．