Question

6．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ACE的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和S_△ACE的最大值；
（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)閽佄锞�與x軸相交，所以可令y=0，解出A、B的坐標(biāo)．再根據(jù)C點(diǎn)在拋物線上，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線中即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．再根據(jù)兩點(diǎn)式方程即可解出AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）根據(jù)P點(diǎn)在AC上可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)．E點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)已知的拋物線求得．因?yàn)镻E都在垂直于x軸的直線上，所以兩點(diǎn)之間的距離為|x_A-x_C|列出方程后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；
（3）存在四個(gè)這樣的點(diǎn)．
①連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，那么CG∥x軸，此時(shí)AF=CG=2，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，0）；
②AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；
③此時(shí)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對(duì)稱，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{7}$，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=-x+7．因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4+$\sqrt{7}$，0）；
④同③可求出F的坐標(biāo)為（4-$\sqrt{7}$，0）；
綜合四種情況可得出，存在4個(gè)符合條件的F點(diǎn)．

解答 解：（1）令y=0，y=x²-2x-3=0，
解得x₁=-1或x₂=3，
將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x²-2x-3，
得y=-3，
∴C（2，-3）；
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1．

（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），
則P、E的坐標(biāo)分別為P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3），
∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$PE×|x_A-x_C|=$\frac{1}{2}$（-x²+x+2）×3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+3，
∴S_△ACE=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，S_△ACE最大為$\frac{27}{8}$．

（3）存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是F₁（1，0），F(xiàn)₂（-3，0），F(xiàn)₃（4+$\sqrt{7}$，0），F(xiàn)₄（4-$\sqrt{7}$，0）．
①如圖1，連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，

∵C（2，-3），G（0，-3）
∴CG∥x軸，此時(shí)AF=CG=2，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，0）；
②如圖2，AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；

③如圖3，此時(shí)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對(duì)稱，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1±$\sqrt{7}$，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+$\sqrt{7}$．因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4+$\sqrt{7}$，0）；

④如圖4，同③可求出F的坐標(biāo)為（4-$\sqrt{7}$，0）；

綜合四種情況可得出，存在4個(gè)符合條件的F點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵是要求學(xué)生掌握分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，此題有一定的難度．