Question

9．三角形ABC中，∠A=120°，AD是角平分線(xiàn)，求證：$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{AC}$=$\frac{1}{AD}$．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BA到E使AC=AE，則△ACE是等邊三角形，且AD∥EC，則從而將要證的式子通分化簡(jiǎn)可證得結(jié)論．

解答 解：延長(zhǎng)BA到E使AC=AE，則△ACE是等邊三角形，且AD∥EC，
∵AD∥EC，
∴△ABD∽△EBC，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AB}{BE}$，
即$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{BE}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴AD•BE=AB•AC，
∴$\frac{1}{AD}$=$\frac{AB+AC}{AB×AC}$=$\frac{BE}{AB×AC}$，
∴$\frac{1}{AD}$=$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{AC}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是正確地作出等邊三角形ACE．