Question

5．已知拋物線的頂點(diǎn)（1，1）拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，2），點(diǎn)A為拋物線上一動點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結(jié)BD，求對角線BD的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）²+1，代入點(diǎn)（0，2）求得a即可；
（2）先利用配方法得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），再根據(jù)矩形的性質(zhì)得BD=AC，由于AC的長等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，所以當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時，點(diǎn)A到x軸的距離最小，最小值為1，從而得到BD的最小值．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，1），
∴拋物線的解析式y(tǒng)=a（x-1）²+1，代入點(diǎn)（0，2），
解得：a=1，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=（x-1）²+1=x²-2x+2；
（2）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），四邊形ABCD為矩形，
∴BD=AC，
∵AC⊥x軸，
∴AC的長等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，
當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時，點(diǎn)A到x軸的距離最小，最小值為1，
∴對角線BD的最小值為1．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了矩形的性質(zhì)．