Question

9．已知BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．
（1）如圖1，求證：△BED是等腰三角形；
（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，在線段BC上取一點(diǎn)F，使四邊形BFDE是菱形，連接EF，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)寫出與△BEF面積一定相等的所有三角形（不包括△BEF本身）．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC，再由平行線的性質(zhì)得出∠DBC=∠BDE，證出∠ABD=∠BDE，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得出OB=OD=OE=OF，EF⊥BD，得出△OBE的面積=△OBF的面積=△ODF的面積=△ODE的面積，得出△BEF的面積=△BED的面積=△BFD的面積=△EFD的面積．

解答 （1）證明：∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE
即△BED是等腰三角形；
（2）解：與△BEF面積相等的所有三角形分別是△BED、△BFD、△EFD；理由如下：如圖所示：
∵四邊形BFDE是菱形，
∴OB=OD=OE=OF，EF⊥BD，
∴△OBE的面積=△OBF的面積=△ODF的面積=△ODE的面積，
∴△BEF的面積=△BED的面積=△BFD的面積=△EFD的面積．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．