Question

17．問(wèn)題提出：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G．求重疊部分（△DCG）的面積．
（1）獨(dú)立思考：請(qǐng)直接寫(xiě)出△DCG的面積是6．
（2）合作交流：“追夢(mèng)”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖2，你能求出重疊部分（△DGH）的面積嗎？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程．
（3）變式探究：如圖3，“智慧”小組將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN，求重疊部分（△DMN）的面積．

Answer 1

分析 （1）先求出∠B=∠DCB，再證明DG∥BC，然后證出DG⊥AC，G是AC的中點(diǎn)．即可求出$S△DCG=\frac{1}{2}•CG•DG=\frac{1}{2}$×4×3=6；
（2）如圖2所示：先證明AG=GH，再求出AD=$\frac{1}{2}$AB=5．，然后證明△ADH∽△ACB，得出比例式$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$，即 $\frac{5}{8}$=$\frac{DH}{6}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，即可求出S_△DGH=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×DH×AD=$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{16}$．
（3）如答圖2所示，作輔助線，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，列方程求解．

解答 解：（1）△DCG的面積是6．
∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴DC=DB=DA．
∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB．
∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°．
∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，
∴G是AC的中點(diǎn)．
∴CG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，DG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴$S△DCG=\frac{1}{2}•CG•DG=\frac{1}{2}$×4×3=6．
（2）如答圖1所示：
∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，∴AG=GD，（4分）
∴AG=GH，即點(diǎn)G為AH的中點(diǎn)．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵D是AB中點(diǎn)，∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5．
在△ADH與△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$，即 $\frac{5}{8}$=$\frac{DH}{6}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，
∴S_△DGH=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×DH×AD=$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{16}$．
（3）如答圖2，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于點(diǎn)K，則DK∥BC，
又∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴DK=$\frac{1}{2}$BC=3．
∵DM=MN，∴∠MND=∠MDN，
由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴$\frac{KN}{BC}=\frac{DK}{AC}$，即$\frac{KN}{6}=\frac{3}{8}$，得KN=$\frac{9}{4}$，
設(shè)DM=MN=x，則MK=x-$\frac{9}{4}$，
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-K$\frac{9}{4}$）²+3²=x²，解得x=$\frac{25}{8}$，
∴S_△DMN=$\frac{1}{2}$•MN•DK=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{8}$×3=$\frac{75}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及勾股定理和三角形面積的計(jì)算方法；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理論證和計(jì)算的能力．