Question

2．如圖（1）已知△ABC，AB=AC，點E在AB上，作EF∥AB交AC于F．
（1）試給出BE與CF數(shù)量關(guān)系．
（2）將△AEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)如圖（2），BE交CF于點O
①（1）中的結(jié)論還成立嗎？請給出并證明你的結(jié)論．
②當∠ABC=60°時，∠BOC度數(shù)為60°；
當∠ABC=α?xí)r，∠BOC度數(shù)為α（0°＜α＜90°）
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當∠BAC=90°，如圖（3），（點B、A、F不在同一直線上），連接CE、BF，當點P為BF中點時，問$\frac{CE}{AP}$的值是否改變？若不變，證明求其值；若變，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到∠B=∠C，再根據(jù)EF∥AB，得到∠AEF=∠AFE，利用等角對等邊得到AE=AF，所以AB-AE=AC-AF，即BE=CF．
（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAE=∠CAF，由SAS證明△BAE≌△CAF，得出對應(yīng)邊相等即可；
②當∠ABC=60°，由△BAE≌△CAF，得出對應(yīng)角相等∠ABE=∠ACE，證明△ABC是等邊三角形，得出∠ACB=60°，由三角形內(nèi)角和即可求出結(jié)果；當∠ABC=α?xí)r，由前面的結(jié)果得出規(guī)律即可；
（3）延長AP至M，使PM=AP，連接MF，由SAS證明△BAP≌△FMP，得出AB=MF，∠ABP=∠PFM，得出平行線AB∥MF，由平行線的性質(zhì)得出∠BAM=∠AMF，由SAS證明△CAE≌△MFA，得出對應(yīng)邊相等CE=AM，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）BE=CF；理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，
∴BE=CF．
（2）①成立；理由如下：
∵△AEF是繞A點旋轉(zhuǎn)而來，
∴∠CAB=∠EAF，
∴∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE
即：∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE=CF；
②當∠ABC=60°時，∠BOC=60°；理由如下：
∵△BAE≌△CAF，
∴∠ABE=∠ACE，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠OCB+∠OBC=∠ACF+∠ACB+∠OBC=∠ACB+∠ABC=120°，
∴∠BOC=180°-120°=60°；
當∠ABC=α?xí)r，由前面的結(jié)果得出規(guī)律：∠BOC=∠ABC=α；
故答案為：60°； α；
（3）$\frac{CE}{AP}$=2，不改變；理由如下：
延長AP至M，使PM=AP，連接MF，如圖所示：
∵P是BF中點，
∴BP=PF，
在△BAP和△FMP中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=FP}&{\;}\\{∠APB=∠MPF}&{\;}\\{AP=MP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△FMP（SAS），
∴AB=MF，∠ABP=∠PFM，
∴AB∥MF，
∴∠BAM=∠AMF，
∵AB=MF，AB=AC，
∴AC=MF，
∵∠BAM+∠CAE=90°=∠AMF+∠MFA，
∴∠CAE=∠MFA，
在△CAE和△MFA中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=MF}&{\;}\\{∠CAE=∠MFA}&{\;}\\{AE=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△MFA（SAS），
∴CE=AM，
∵AM=2AP，
∴CE=2AP，
∴$\frac{CE}{AP}$=2．

點評 本題是幾何變換綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（3）中，需要通過作輔助線兩次證明三角形全等才能得出結(jié)果．