Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在兩條坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），BE⊥x軸于點(diǎn)E，一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D．
（1）求證：△AOC≌△CEB；
（2）求△ABD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AC=BC，∠ACB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠OAC=∠BCE，根據(jù)AAS，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得b的值，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

解答 （1）證明：∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°．
∵∠O=∠ACB=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCE=90°，
∴∠OAC=∠BCE．
在RtAOC和Rt△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠O=∠CEB}\\{∠OAC=∠CEB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴RtAOC≌Rt△CEB   （AAS）；
（2）如圖：作BF⊥y軸于F點(diǎn)．

∵RtAOC≌Rt△CEB，
∴CE=OA=2，BE=OC=1，
∴OE=CC+CE=1+2=3，
即B（3，1），BF=3．
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x+b，得
3+b=1，
解得b=-2，
直線BD的解析式為y=x-2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，即D（0，-2）．
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•BF=$\frac{1}{2}$×[2-（-2）]×3=6．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用余角的性質(zhì)得出∠OAC=∠BCE是解題關(guān)鍵；（2）利用待定系數(shù)法求出b值，又利用了三角形的面積公式．