Question

12．如圖，△ABC面積為1，第一次操作：分別延長AB，BC，CA至點A₁，B₁，C₁，使A₁B=AB、B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁．第二次操作：分別延長A₁B₁，B₁C₁、C₁A₁至點A₂，B₂，C₂，使A₂B₁=A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，順次連接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，…按此規(guī)律，經(jīng)過2015次操作后△A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅的面積為14²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 連接A₁C，B₁A，BC₁，找出延長各邊后得到的三角形是原三角形的14倍的規(guī)律，利用規(guī)律求延長第n次后的面積為14ⁿ，即可得到結(jié)論．

解答 解：連接A₁C，B₁A，BC₁，
S_△AA1C=2S_△ABC=2，
∴S_△A1BC=1，S_△A1B1C=2，S${\;}_{△C{C}_{1}{B}_{1}}$=6，
S${\;}_{△A{A}_{1}{C}_{1}}$=2S${\;}_{△A{A}_{1}C}$=4，
所以S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=6+4+4=14；
同理得△A₂B₂C₂的面積=14×14=361；
S${\;}_{△{A}_{3}{B}_{3}{C}_{3}}$=196×14=6859，
從中可以得出一個規(guī)律，延長各邊后得到的三角形是原三角形的14倍，所以延長第n次后，得到△A_nB_nC_n，
則其面積S${\;}_{△{A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}}$=14ⁿ•S₁=14ⁿ，
∴△A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅的面積為14²⁰¹⁵．
故答案為：14²⁰¹⁵．

點評 此題主要考查了三角形的面積及等積變換，利用三角形同高則面積比與底邊關(guān)系分別分析得出是解題關(guān)鍵．