Question

1．如圖，直線OE與直線OF互相垂直，將含30°的三角尺ABC如圖擺放，其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在OE、OF上，且AB=12cm
（1）若OB=6cm．則C到OE的距離是9cm，C到OF的距離是3$\sqrt{3}$cm．
（2）若點(diǎn)A向右滑動(dòng)且A點(diǎn)滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；
（3）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值=12cm．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OF于D，CH⊥OE于H，如圖1，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，利用三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行解答；
（3）如圖3中，取AB的中點(diǎn)D，連接CD、OD．因?yàn)椤鰽BC在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，CD=OD=$\frac{1}{2}$AB=6是定值，又因?yàn)镃O≤CD+OD，所以當(dāng)C、D、O共線時(shí)，CO=CD+OD=12，由此可得CO的最大值為12．

解答 解：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OF于D，CH⊥OE于H，如圖1：

在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
又∵∠CBA=60°，
∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，
在Rt△ACB中，∵AB=12，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=6，
在Rt△CBD中，可得BD=3，CD=3$\sqrt{3}$，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3$\sqrt{3}$，9），
∴CH=9cm，CD=3$\sqrt{3}$cm，
∴C到OE的距離是 9cm，C到OF的距離是3$\sqrt{3}$cm；
故答案為9cm，3$\sqrt{3}$cm．

（2）設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，如圖2：

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6$\sqrt{3}$．
∴A'O=6$\sqrt{3}$-x，B'O=6+x，A'B'=AB=12
在△A'O B'中，由勾股定理得，
（6$\sqrt{3}$-x）²+（6+x）²=12²，
解得：x=6（$\sqrt{3}$-1）或0（舍棄），
∴滑動(dòng)的距離為6（$\sqrt{3}$-1）；

（3）如圖3中，取AB的中點(diǎn)D，連接CD、OD．

∵△ABC在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，CD=OD=$\frac{1}{2}$AB=6是定值，
∵CO≤CD+OD，
∴當(dāng)C、D、O共線時(shí)，CO=CD+OD=12cm，
∴CO的最大值為12cm．
故答案為12cm．

點(diǎn)評(píng) 此題考查相似三角形的綜合題、直角三角形30度角性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用三角形三邊關(guān)系定理解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．