Question

把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖1擺放（點C與E重合），點B，C（E），F(xiàn)在同一直線上，∠ACB=∠EFD=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=9
如圖2，△DEF從圖1出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB向△ABC勻速運動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BA向點A勻速移動，當DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動，DE與AC相交于Q，連接PE，PQ．設移動的時間為t（0＜t＜4.5）．解答下列問題：
（1）t為何值時，四邊形APEC為梯形．
（2）以點Q為圓心，PQ為半徑作⊙Q，當t為何值時，⊙O既與AB相切，又與BC相切？
（3）設四邊形APEC的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關系式；是否存在某一時刻t，使y的值最��？若存在，求出y的最小值；若不存在，請說明理由．
（4）是否存在某一時刻t，使P，Q，F(xiàn)三點在同一直線上？若存在，求出此時t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）當PE∥AC時，得出△BPE∽△BAC，進而求出t的值即可；
（2）當⊙Q既與AB相切，又與BC相切，則QP⊥AB且QC=QP，進而得出Rt△QPB≌Rt△QCB，即可得出；
（3）作PM⊥BC，將四邊形的面積表示為S_△ABC-S_△BPE即可求解；
（4）假設存在符合條件的t值，由相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答：解：（1）當PE∥AC時，四邊形APEC是梯形，
在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，
∴△BPE∽△BAC，
∴

BP

AB

=

BE

BC

，
即

2t

10

=

6-t

6

，
解得：t=

30

11

，
∴當t=

30

11

時，四邊形APEC是梯形；

（2）如圖1，連接BQ，
∵⊙Q既與AB相切，又與BC相切，
∴QP⊥AB且QC=QP，
∵QC⊥BC，
∴在Rt△QPB與Rt△QCB中，

QP=QC BQ=BQ

，
∴Rt△QPB≌Rt△QCB（HL），
∴BP=BC，
即2t=6，
解得：t=3，
當t=3時，⊙Q既與AB相切，又與BC相切；

（3）如圖2，過P作PM⊥BE，交BE于M
∴∠BMP=90°；
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=

AC

AB

=

PM

BP

，
∴

PM

2t

=

8

10

；
∴PM=

8

5

t；
∵BC=6，CE=t，∴BE=6-t；
∴y=S_△ABC-S_△BPE=

1

2

BC•AC-

1

2

BE×PM
=

1

2

×6×8-

1

2

（6-t）×

8

5

t
=

4

5

t²-

24

5

t+24
=

4

5

（t-3）²+

84

5

，
∵a=

4

5

，
∴拋物線開口向上；
∴當t=3時，y_最小=

84

5

；
答：當t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為

84

5

cm²．

（4）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上；
如圖3，過P作PN⊥AC，交AC于N
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC；
∴

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

；
∴

PN

6

=

10-2t

10

=

AN

8

，
∴PN=6-

6

5

t，AN=8-

8

5

t；
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t
∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一條直線上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP；
∴

PN

FC

=

NQ

CQ

，
∴

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

；
解得：t₁=1，t₂=0（不合題意舍去），
答：當t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)的最值問題等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出△QCF∽△QNP是解題關鍵．