Question

13．在等腰Rt△ABC中∠ABC=90°，AB=BC，在等腰Rt△BDE中∠BDE=90°，BD=DE，連接AD，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F重合時(shí)，若BD=$\sqrt{5}$，求CD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F恰好在BE上，AB=AD時(shí)，求證：BD=$\sqrt{2}$CD．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CM⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于M．由△CBM≌△BAD，推出BD=CM，AD=BM，由AE=DE=BD，推出AD=2BD，BM=2BD，推出BD=DM=CM=$\sqrt{5}$，推出△DCM是等腰直角三角形，由此即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，作AN⊥BM于N交BE于G，CM⊥BD于M．只要證明△CDM是等腰直角三角形，BN=DN=DM，即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：如圖1中，作CM⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于M．

∵∠ADB=∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBM=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CBM=∠BAD，
在△CBM和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠BAD}\\{∠M=∠ADB}\\{BC=BA}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△BAD，
∴BD=CM，AD=BM，
∵AE=DE=BD，
∴AD=2BD，BM=2BD，
∴BD=DM=CM=$\sqrt{5}$，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{10}$．

（2）證明：如圖2中，作AN⊥BM于N交BE于G，CM⊥BD于M．

由（1）可知△CBM≌△BAN，
∴BN=CM，AN=BM，
∵AB=AD，AN⊥BD，
∴BN=DN，∵ED⊥BD，
∴AN∥DE，
∴∠GAF=∠FDE，BG=GE，
∴DE=2GN，
在△AGF和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠FDE}\\{∠AFG=∠DFE}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△DEF，
∴AG=DE=BD，
∴AN=3BN，BM=3CM，
∵BN=DN，
∴DM=CM，
∴△CDM是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$CM，
∵CM=BN=$\frac{1}{2}$BD，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∴BD=$\sqrt{2}$CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．