Question

3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，
（1）⊙O的弦AE交于BC于D．求證：AB•AC=AD•AE；
（2）在（1）的條件下當(dāng)弦AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明．若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）已知⊙O 的半徑2，∠ACB=40°，求BA的長(zhǎng)．（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，結(jié)果精確到0.1）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接CE，只要證明△AEC∽△ACD，即可解決問題；
（2）如圖2中，連接BE，只要證明△AEB∽△ABD，即可解決問題；
（3）如圖3中，過(guò)A作⊙O的直徑AM，連接BM．在Rt△ABM中，解直角三角形即可；

解答 （1）證明：如圖1中，連接CE，

∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠AEC=∠ACD，
又∵∠EAC=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，即AC²=AD•AE；
又∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AE．

（2）答：上述結(jié)論仍成立．
證明：如圖2中，連接BE，

∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠AEB=∠ABD，
又∵∠EAB=∠DAB
∴△AEB∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，即AB²=AD•AE，
又∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AE．

（3）解：如圖3中，過(guò)A作⊙O的直徑AM，連接BM．

∴∠ABM=90°，
∵∠AMB=∠ACB=40°，
在Rt△ABD中，AM=4，
∵sin∠AMB=$\frac{AB}{AM}$，
∴AB=4sin40°=4×0.64≈2.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．