Question

13．如圖，正方形BCPQ對(duì)角線交于點(diǎn)A，將一塊等腰直角三角形中45°角的頂點(diǎn)放在A點(diǎn)，斜邊AG所在的直線交BC于點(diǎn)D，直角邊AH所在的直角交BC于點(diǎn)E．
（1）在邊BC上取一點(diǎn)M，連接AM，AD平分∠BAM，求證：AE平分∠MAC；
（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷BD、CE、DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠DAM+∠EAM=∠BAD+∠EAC，由AD平分∠BAM，可得∠BAD=∠DAM即可推出∠EAM=∠EAC．

解答 （1）證明：∵∠DAE=45°，
∴∠DAM+∠EAM=45°，
在正方形BCPQ中，BP⊥CQ，∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠DAM+∠EAM=∠BAD+∠EAC
AD平分∠BAM，
∴∠BAD=∠DAM
∴∠EAM=∠EAC 即AE平分∠MAC．

（2）解：結(jié)論：BD²+CE²=DE²．
證明：延長(zhǎng)AM到點(diǎn)F，使AF=AB，
在正方形BCPQ中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴AF=AC，∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BAD=∠DAM  由（1）知，∠EAM=∠EAC，
又AF=AF，
∴△FAD≌△BAD，△FAE≌△CAE，
∴∠AFD=∠ABC=45°，DF=BD，∠AFE=∠ACB=45°，EF=EC，
∴∠DFE=90°，
在Rt△DEF中，DF²+EF²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、角平分線的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．