Question

12．觀察下列等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加，得
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并寫出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）探究并計(jì)算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給等式發(fā)現(xiàn)$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）根據(jù)$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，可得（2）的計(jì)算過程及結(jié)果．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
故答案為：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；

（2）$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$）$+\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{6}$$-\frac{1}{8}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2014}-\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$$+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$$+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2014}-\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}×$$\frac{1007}{2016}$
=$\frac{1007}{4032}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．