Question

4．設(shè)二次函數(shù)y₁=a（x-2）²+c（a≠0）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），在x軸上截得的線段長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$．
（1）求a、c的值．
（2）對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)y₂=y₁-kx的最小值稱(chēng)為k的“貢獻(xiàn)值”，記作g（k）．求g（k）的解析式．
（3）在（2）條件下，當(dāng)“貢獻(xiàn)值”g（k）=1時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）將（0，1）代入得：4a+c=1，然后將4a+c=1與2a+c=0聯(lián)立可求得a、c的值；
（2）由題意可知y₂=$\frac{1}{2}$x²-（k+2）x+1，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=k+2，然后分為k+2＜-2、-2≤k+2≤1、k+2＞1三種情況分別求得y₂的最小值即可；
（3）由g（k）=1列出關(guān)于k的方程，從而可求得k的值．

解答 解：（1）將（0，1）代入得：4a+c=1   ①．
又∵在x軸上截得的線段長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$．
∴令y=0，則a（x-2）²+c=ax²-4ax+4a+c=0，
∴|x₂-x₁|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{16-4×\frac{4a+c}{a}}$=2$\sqrt{2}$，
，整理，得2a+c=0  ②，
聯(lián)立①②，解得：a=$\frac{1}{2}$，c=-1．

（2）∵y₂=y₁-kx，
∴y₂=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1=-kx=$\frac{1}{2}$x²-（k+2）x+1．
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=k+2．
當(dāng)k+2＜-2時(shí)，即k＜-4時(shí)，當(dāng)x=-2時(shí)，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$×4+2（k+2）+1=2k+7；
當(dāng)-2≤k+2≤1時(shí)，即-4≤k≤-1時(shí)，當(dāng)x=k+2時(shí)，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$（k+2）²-（k+2）²+1=-$\frac{1}{2}$（k+2）²+1．
當(dāng)k+2＞1時(shí)，即k＞-1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$×1-（k+2）+1=-k-$\frac{1}{2}$．
綜上所述，g（k）的解析式為g（k）=$\left\{\begin{array}{l}{2k+7（k＜-4）}\\{-\frac{1}{2}（k+2）^{2}+1（-4≤k≤-1）}\\{-k-\frac{1}{2}（k＞-1）}\end{array}\right.$．

（3）當(dāng)k＜-4時(shí)：令y=2k+7=1，得k=-3，不合題意舍去；
當(dāng)-4≤k≤-1時(shí)：令y=-$\frac{1}{2}$（k+2）²+1=1；得k=-2．
當(dāng)k＞-1時(shí)：令y=-k-$\frac{1}{2}$=1，得k=-$\frac{3}{2}$，舍去．
綜上所述，k=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，找出二次函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)取得最小值的條件是解答本題的關(guān)鍵．