Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，A（0，2）、B（2，0）、C（-2，0）．
（1）過B作直線MN⊥AB，P為線段OC上的一動點，AP⊥PH交直線MN于點H．證明：PA=PH．
（2）在（1）的條件下，若在點A處有一個等腰Rt△APQ繞點A旋轉(zhuǎn)，且AP=PQ，∠APQ=90°，連接BQ，點G為BQ的中點，試猜想線段OG與線段PG的數(shù)量關系與位置關系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用A（0，2）、B（2，0）、C（-2，0），得到△ABC，△OAC，△OAB都是等腰直角三角形，如圖1，過點P作PG∥AB交y軸與G，則∠4=∠6=45°，再證明△APG≌△PHB，得到PA=PH．
（2）OG=PG，OG⊥PG，理由：如圖2，延長PG到R，使GR=PG，連接PO，OR，BR，證明△PQG≌△BRG，得到PQ=BR，∠5=∠GBR，進而AP⊥PQ，再延長AP交BR于S，交OB于T，則AP⊥BR，證明△PAO≌△RBO，得到PO=OR，∠1=∠2，所以△POR為等腰直角三角形，根據(jù)PG=GR，所以OG⊥PG，OG=PG．

解答 解：（1）∵A（0，2）、B（2，0）、C（-2，0）．
∴OA=OB=OC，
∴△ABC，△OAC，△OAB都是等腰直角三角形，
∴∠6=∠7=45°，
如圖1，過點P作PG∥AB交y軸與G，則∠4=∠6=45°，

∴OP=OG，
∴AO+OG=OB+OP，
即AG=PB，
∵AP⊥PH，
∴∠2+∠5=90°，
∵∠1+∠5=90°，
∴∠1=∠2，
∵MN⊥AB，
∴∠3+∠7=90°，
∴∠3=45°，
∴∠3=∠4，
在△APG和△PHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AG=PB}\\{∠4=∠3}\end{array}\right.$，
∴△APG≌△PHB，
∴PA=PH．
（2）OG=PG，OG⊥PG，

理由：如圖2，延長PG到R，使GR=PG，連接PO，OR，BR，
在△PQG和△BRG中，
$\left\{\begin{array}{l}{PG=GR}\\{∠4=∠3}\\{QG=BG}\end{array}\right.$，
∴△PQG≌△BRG，
∴PQ=BR，∠5=∠GBR，
∴PQ∥BR，
∵AP⊥PQ，
延長AP交BR于S，交OB于T，則AP⊥BR，
∵∠AOB=∠ASB=90°，∠ATR=∠BTS，
∴∠α=∠β，
∵PA=PQ，PQ=BR，
∴PA=BR，
在△PAO和△RBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=BR}\\{∠β=∠α}\\{OA=OB}\end{array}\right.$
∴△PAO≌△RBO，
∴PO=OR，∠1=∠2，
∵∠1+∠POB=90°，
∴∠POB+∠2=90°，
∴△POR為等腰直角三角形，
∵PG=GR，
∴OG⊥PG，OG=PG．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定定理、等腰直角三角形的性質(zhì)疑判定，解決本題的關鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．