Question

3．如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，延長AB交FD的延長線于點(diǎn)M，連接MC．
求證：FM=FC．

Answer 1

分析 如圖，首先證明DF⊥AE，DF=AF=EF，這是解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用AAS公理證明△DFC≌△AFM，得到MF=CF，即可解決問題．

解答 證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF；
又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF；在△DFC與△AFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠AFM}\\{∠DCF=∠AMF}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴MF=CF．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；牢固掌握全等三角形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．