Question

3．如圖所示，P（a，3）是直線y=x+5上的一點(diǎn)，直線 y=k₁x+b與雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交于P、Q（1，m）．
（1）求雙曲線的解析式及直線PQ的解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式$\frac{k}{x}$＞k₁x+b的解集；
（3）若直線y=x+5與x軸交于A，直線y=k₁x+b與x軸交于M，求△APQ的面積．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)P的縱坐標(biāo)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)P的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出雙曲線的解析式，由點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出直線PQ的解析式；
（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可求出不等式$\frac{k}{x}$＞k₁x+b的解集；
（3）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)A、M的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積結(jié)合S_△APQ=S_△AMP+S_△AMQ，即可求出△APQ的面積．

解答 解：（1）∵P（a，3）是直線y=x+5上的一點(diǎn)，
∴3=a+5，解得：a=-2，
∴點(diǎn)P（-2，3）．
將P（-2，3）代入y=$\frac{k}{x}$中，
3=$\frac{k}{-2}$，解得：k=-6，
∴雙曲線解析式為y=-$\frac{6}{x}$．
∵Q（1，m）是雙曲線y=-$\frac{6}{x}$上的一點(diǎn)，
∴m=-$\frac{6}{1}$=-6，
∴點(diǎn)Q（1，-6）．
將P（-2，3）、Q（1，-6）代入y=k₁x+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{-2{k}_{1}+b=3}\\{{k}_{1}+b=-6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-3}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線PQ的解析式為y=-3x-3．

（2）觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)-2＜x＜0或x＞1時(shí)，雙曲線在直線PQ的上方，
∴不等式$\frac{k}{x}$＞k₁x+b的解集為-2＜x＜0或x＞1．

（3）當(dāng)y=x+5=0時(shí)，x=-5，
∴點(diǎn)A（-5，0）；
當(dāng)y=-3x-3=0時(shí)，x=-1，
∴點(diǎn)M（-1，0）．
∴AM=4，
∴S_△APQ=S_△AMP+S_△AMQ=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×6=18．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、一次（反比例）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次（反比例）函數(shù)解析式以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集；（3）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A、M的坐標(biāo)．