Question

14．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，△OAB三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（1，$\sqrt{3}$），B（4，0）．
（1）求證：AB⊥OA；
（2）在第一象限內(nèi)確定點(diǎn)M，使△MOB與△AOB相似，求符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，已知點(diǎn)D（0，-3），作直線(xiàn)BD
①將△AOB沿射線(xiàn)BD平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，求△AOB與以D為圓心，以1為半徑的⊙D的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
②如圖3，現(xiàn)有一點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)DB的方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)以P為圓心，以0.5t為半徑的⊙P與△AOB有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AH⊥OB于H，由tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\sqrt{3}$，tan∠ABH=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠AOH=60°，∠ABO=30°，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)B作BM₁⊥x軸交OA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M₁，在BM₁取一點(diǎn)M₂使得∠M₂OB=30°，作BM₃⊥OM₂于M₃，則△OBM₁，△OBM₂，△OBM₃都與△OAB相似．分別求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．
（3）①如圖3中，作DM⊥A′B′于M，O′B′與OD交于點(diǎn)N，根據(jù)DM＜1，DN＜1可得以1為半徑的⊙D與O′B′有兩個(gè)交點(diǎn)，與A′B′有兩個(gè)交點(diǎn)（B′點(diǎn)重復(fù)），由此即可解決問(wèn)題．②求出兩種特殊位置時(shí)t的值，a、當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，作PM⊥OB于M，則PM=0.5t，由PM∥OD，DP=t，PB=5-t，得$\frac{PM}{OD}$=$\frac{BP}{BD}$，列出方程求出t．b、當(dāng)⊙P′的圓心P′在x上方時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則有t-5=0.5t，求出t，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作AH⊥OB于H，

∵A（1，$\sqrt{3}$），B（4，0）．
∴OH=1，AH=$\sqrt{3}$，BH=3，
∴tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\sqrt{3}$，tan∠ABH=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOH=60°，∠ABO=30°，
∴∠OAB=180°-∠AOB-∠ABO=90°，
∴OA⊥AB．

（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)B作BM₁⊥x軸交OA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M₁，在BM₁取一點(diǎn)M₂使得∠M₂OB=30°，作BM₃⊥OM₂于M₃，則△OBM₁，△OBM₂，△OBM₃都與△OAB相似．

在Rt△OBM₁中，∵OB=4，∠BOM₁=60°，
∴BM₁=$\sqrt{3}$BO=4$\sqrt{3}$，
∴M₁（4，4$\sqrt{3}$）．
在Rt△OBM₂中，∵OB=4，∠M₂OB=30°，
∴BM₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴M₂（4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
在Rt△OBM₃中，∵∠M₃OB=30°，∠OM₃B=90°，
∴OM₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=2$\sqrt{3}$，可得M₃（3，$\sqrt{3}$）．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，4$\sqrt{3}$）或（4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（3，$\sqrt{3}$）

（3）①如圖3中，作DM⊥A′B′于M，O′B′與OD交于點(diǎn)N，

由題意BB′=4，
∵OB=4，OD=3，∠BOD=90°，
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴DB′=1，
∴DM＜DB′，DN＜DB′即DM＜1，DN＜1
∴以1為半徑的⊙D與O′B′有兩個(gè)交點(diǎn)，與A′B′有兩個(gè)交點(diǎn)（B′點(diǎn)重復(fù)），
∴△AOB與以D為圓心，以1為半徑的⊙D的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．

②如圖4中，

a、當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，作PM⊥OB于M，則PM=0.5t，
∵PM∥OD，DP=t，PB=5-t，
∴$\frac{PM}{OD}$=$\frac{BP}{BD}$，
∴$\frac{0.5t}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴t=$\frac{30}{11}$秒．
b、當(dāng)⊙P′的圓心P′在x上方時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則有t-5=0.5t，
∴t=10，
綜上所述，當(dāng)$\frac{30}{11}$≤t≤10時(shí)，P為圓心，以0.5t為半徑的⊙P與△AOB有公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．