Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，今在△ABC內(nèi)部取一點(diǎn)D使得AB=BD=AC且∠DCB=30°，若CD=2且AC=2$\sqrt{37}$，試求△ABC面積（請(qǐng)?jiān)斒隼碛桑��?

Answer 1

分析 如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F．結(jié)合含30度角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求得BC、AF的長(zhǎng)度，利用三角形的面積公式即可求得答案．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F．
∵CD=2，∠DCB=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴EC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
又AB=BD=AC=2$\sqrt{37}$，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{37}）^{2}-1}$=7$\sqrt{3}$，BF=$\frac{1}{2}$BC．
∴BC=8$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{37}）^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{3}$×10=40$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積的計(jì)算，解題時(shí)，注意輔助線和勾股定理的應(yīng)用．