Question

13．如圖，直線y=kx+b（k、b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點A（-4，0）、B（0，3），拋物線y=-x²+2x+1與y軸交于點C．
（1）求直線y=kx+b的函數(shù)解析式；
（2）若點P（x，y）是拋物線y=-x²+2x+1上的任意一點，設點P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時點P的坐標；
（3）若點E在拋物線y=-x²+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE+EF的最小值．

Answer 1

分析 （1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線解析式；
（2）過P作PH⊥AB于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點Q，則可證明△PHQ∽△BAO，設H（m，$\frac{3}{4}$m+3），利用相似三角形的性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得d取得最小值時的P點的坐標；
（3）設C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C′，由對稱的性質(zhì)可得CE=C′E，則可知當F、E、C′三點一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小，由C點坐標可確定出C′點的坐標，利用（2）中所求函數(shù)關(guān)系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．

解答 解：
（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3；
（2）如圖1，過P作PH⊥AB于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點Q，

則∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，
∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，
∴△PQH∽△BOA，
∴$\frac{PQ}{OB}$=$\frac{HQ}{OA}$=$\frac{PH}{AB}$，
設H（m，$\frac{3}{4}$m+3），則PQ=x-m，HQ=$\frac{3}{4}$m+3-（-x²+2x+1），
∵A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，
∴$\frac{x-m}{3}$=$\frac{\frac{3}{4}m+3-（-{x}^{2}+2x+1）}{4}$=$\fracvvpvb7r{5}$，
整理消去m可得d=$\frac{4}{5}$x²-x+$\frac{8}{5}$=$\frac{4}{5}$（x-$\frac{5}{8}$）²+$\frac{103}{80}$，
∴d與x的函數(shù)關(guān)系式為d=$\frac{4}{5}$（x-$\frac{5}{8}$）²+$\frac{103}{80}$，
∵$\frac{4}{5}$＞0，
∴當x=$\frac{5}{8}$時，d有最小值，此時y=-（$\frac{5}{8}$）²+2×$\frac{5}{8}$+1=$\frac{119}{64}$，
∴當d取得最小值時P點坐標為（$\frac{5}{8}$，$\frac{119}{64}$）；

（3）如圖2，設C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C′，由對稱的性質(zhì)可得CE=C′E，

∴CE+EF=C′E+EF，
∴當F、E、C′三點一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小，
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
由（2）可知當x=2時，d=$\frac{4}{5}$×（2-$\frac{5}{8}$）²+$\frac{103}{80}$=$\frac{14}{5}$，
即CE+EF的最小值為$\frac{14}{5}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應用，在（2）中構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出E點的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．