Question

1．已知，F(xiàn)H是⊙O的直徑，弦AB⊥FH于G，過AB的延長線上一點C作⊙O的切線交HF于E，切點為點D，連接AF、AD．
（1）求證：∠DAF=$\frac{1}{2}$∠C；
（2）若AB=6，GH=$\frac{3}{2}$，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，先利用切線的性質(zhì)得∠ODC=90°，則根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠C+∠DOG=180°，再利用等角的補角相等得到∠DOF=∠C，然后根據(jù)圓周角定理可得到結(jié)論；
（2）連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，利用垂徑定理得到AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=3，再根據(jù)勾股定理得到在（r-$\frac{3}{2}$）²+3²=r²，解得r=$\frac{15}{4}$，所以FG=FH-OG=6，然后在Rt△AFG中利用勾股定理可計算出AF．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵CD為切線，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∵OG⊥AB，
∴∠OGC=90°，
∴∠C+∠DOG=180°，
而∠DOF+∠DOG=180°，
∴∠DOF=∠C，
∵∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DOF，
∴∠DAF=$\frac{1}{2}$∠C；

（2）解：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵OG⊥AB，
∴AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=3，
在Rt△OGA中，OG=r-$\frac{3}{2}$，OA=r，
∴（r-$\frac{3}{2}$）²+3²=r²，解得r=$\frac{15}{4}$，
∴FG=FH-OG=$\frac{15}{4}$×2-$\frac{3}{2}$=6，
在Rt△AFG中，AF=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了垂徑定理和圓周角定理．