Question

19．某工廠有許多直角邊長分別為30cm和40cm的直角三角形的下腳料鐵皮，要利用它們分別裁剪一個正方形，用來焊接棱長為17cm的正方體開關(guān)盒．有兩種方法：一種是正方形的一邊在直角三角形的斜邊上，另兩個頂點在兩條直線邊上，如圖（1）；另一種是一組鄰邊在直角三角形的兩直角邊上，另一個頂點在斜邊上，如圖（2）．問哪種方式合乎要求．

Answer 1

分析 如圖（1），利用三角形的面積關(guān)系求出AB邊上的高，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長；
如圖（2），設(shè)出正方形的邊長，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長．
邊長≥17cm的正方形符合題意．

解答 解：如圖（1），因為△ABC為直角三角形，邊長分別為30cm和40cm，則AB=$\sqrt{3{0}^{2}+4{0}^{2}}$=50（cm）．
作AB邊上的高CH，交DG于點Q．
于是$\frac{2CH}{5}$=$\frac{30×40}{2}$，
故CH=24cm．
易得：△DCG∽△ACB，
故：$\frac{CQ}{CH}$=$\frac{DG}{AB}$．
設(shè)正方形DEFG的邊長為xcm，
得：$\frac{24-x}{24}$=$\frac{x}{50}$，
解得：x=$\frac{600}{37}$＜17，不合題意，舍去．
如圖（2），令AC=3cm，設(shè)正方形邊長為ycm．
易得：△ADE∽△ACB，
于是：$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{CB}$，
$\frac{30-y}{30}$=$\frac{y}{40}$，
解得：y=$\frac{120}{7}$＞17．符合題意．
綜上所述，第二種方法合乎要求．

點評 本題考查了相似三角形的應用．（1）利用面積法求出直角三角形斜邊上的高是解答此題的關(guān)鍵；（2）可根據(jù)△ADE∽△ACB或△BFE∽△BCA來解答．