Question

8．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)N，連接DM，下列結(jié)論：①DF=DN； ②△DMN為等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE=$\frac{2}{3}$EC；
⑤AE=NC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 2個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 4個(gè)
• D． 5個(gè)

Answer 1

分析 求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，證△DFB≌△DAN，即可判斷①，證△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判斷⑤；根據(jù)A、B、D、M四點(diǎn)共圓求出∠ADM=22.5°，即可判斷③，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判斷②，根據(jù)BE是∠ABC的平分線，$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{\sqrt{2}AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}EC$，故④錯(cuò)誤．

解答 解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，
∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，AM⊥BE，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠DAN}\\{BD=AD}\\{∠BDF=∠ADN}\end{array}\right.$
∴△FBD≌△NAD，
∴DF=DN，
∴①正確；
在△AFB和△△CNA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠C=4{5}^{°}}\\{AB=AC}\\{∠ABF=∠CAN=22．{5}^{°}}\end{array}\right.$
∴△AFB≌△CAN，
∴AF=CN，
∵AF=AE，
∴AE=CN，
∴⑤正確；
∵∠ADB=∠AMB=90°，
∴A、B、D、M四點(diǎn)共圓，
∴∠ABM=∠ADM=22.5°，
∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，
∴DM平分∠BMN
∴③正確；
∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，
∴∠MDN=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DNM，
∴DM=MN，
∴△DMN是等腰三角形，
∴②正確；
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$AB，
∵BE是∠ABC的平分線，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{\sqrt{2}AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}EC$，
∴④錯(cuò)誤，
即正確的有4個(gè)，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確證明推出兩個(gè)三角形全等是解此題的關(guān)鍵，主要考查學(xué)生的推理能力．