Question

18．已知，如圖，拋物線y=ax²+2ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC=3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OC=3OB，B（1，0），求出C點坐標（0，-3），把點B，C的坐標代入y=ax²+2ax+c，求出a點坐標即可求出函數(shù)解析式；
（2）圖，過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N．設M（m，-m-3）則D（m，m²+2m-3），然后求出DM的表達式，把S_{四邊形ABCD}分解為S_△ABC+S_△ACD，轉化為二次函數(shù)求最值；
（3）①過點C作CP₁∥x軸交拋物線于點P₁，過點P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點E₁，此時四邊形ACP₁E₁為平行四邊形．平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形．

解答 解：（1）∵OC=3OB，B（1，0），
∴C（0，-3）．
把點B，C的坐標代入y=ax²+2ax+c，得a=1，c=-3，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=x²+2x-3．

（2）由A（-3，0），C（0，-3）得直線AC的解析式為y=-x-3，
如圖1，過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N．
設M（m，-m-3）則D（m，m²+2m-3），
DM=-m-3-（m²+2m-3）=-m²-3m=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴-1＜0，
∴當x=$-\frac{3}{2}$時，DM有最大值$\frac{9}{4}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×3×DM，此時四邊形ABCD面積有最大值為6+$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{75}{8}$．

（3）存在．
討論：①如圖2，過點C作CP₁∥x軸交拋物線于點P₁，過點P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點E₁，
此時四邊形ACP₁E₁為平行四邊形．
∵C（0，-3），令-3=x²+2x-3
∴x₁=0，x₂=-2．
∴P₁（-2，-3）．
②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，
∵C（0，-3），
∴可令P（x，3），3=x²+2x-3，得x²+2x-6=0
解得x₁=-1+$\sqrt{7}$，x₂=-1-$\sqrt{7}$，
此時存在點P₂（-1+$\sqrt{7}$，3），P₃（-1-$\sqrt{7}$，3），
綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是：
P₁（-2，-3），P₂（-1+$\sqrt{7}$，3），P₃（-1-$\sqrt{7}$，3）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)求最值，平行四邊形的判定與性質等知識，根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵，在解答（3）時要注意進行分類討論．