Question

16．如圖①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）如圖②，
i）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時，線段BD與線段CF的數(shù)量關(guān)系是BD=CF；直線BD與直線CF的位置關(guān)系是BD⊥CF．
ii）請利用圖②證明上述結(jié)論．
（2）如圖③，當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，延長DB交CF于點(diǎn)H，若AB=$\sqrt{2}$，AD=3時，求線段FC的長．

Answer 1

分析 （1）i）根據(jù)題意判斷出結(jié)論；
ii）先判斷出△ABD≌△ACF，得出BD=CF，∠ADB=∠AFC，再利用互余即可得出∠AFC+∠FMN=90°，即可得出結(jié)論；
（2）先構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出BD，由（1）的結(jié)論即可得出CF的值．

解答 解：（1）、i）BD=CF，BD⊥CF，
故答案為：BD=CF，BD⊥CF；
ii）證明：如圖2，延長DB交AF于點(diǎn)M，交CF于點(diǎn)N，
在正方形ADEF中，AD=AF，∠FAD=∠CBA=90°，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠FAD=CBA=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，∠ADB=∠AFC，
∵∠ADB+∠AMD=90°，
∴∠ADB+∠AMD=90°，
∴∠AFC+∠AMD=90°，
∵∠AMD=∠FMN，
∴∠AFC+∠FMN=90°，
∴∠FND=90°，
∴BD⊥CF；

（2）
如圖3，過點(diǎn)B作BP⊥AD于P，
由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=45°，
在Rt△ABP中，AB=$\sqrt{2}$，
∴AP=BP=1，
∴DP=AD-AP=2，
在Rt△BDP中，根據(jù)勾股定理得，BD=$\sqrt{B{P}^{2}+D{P}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由（1）知，F(xiàn)C=BD=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等角的余角相等，勾股定理，解（1）的根據(jù)是判斷出△ABD≌△ACF，解（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．